Egy történettel kezdjük ezt a részt. Gaussról a matematika egyik legnagyobb alakjáról mesélik a következő legendát. A falusi iskolában, ahova Gauss járt, a tanító egyszer – hogy kis nyugtot nyerjen a diákjaitól – azt a feladatot adta fel a diákoknak, hogy adják össze 1-től 100-ig a számokat.

1 + 2 + 3 + … + 100

A kis Gauss egy percen belül jelentkezett, hogy a végeredmény 5050. A tantó nagyon elcsodálkozott, mert valóban ez a helyes végeredmény, de ennyire gyors még Gauss se lehet. Megkérdezte hogyan jutott az eredményre, mire Gauss a következőt mondta el. Észrevette, hogy

• ha az első és az utolsó számot adja össze, az 1 + 100 = 101.
• Ha a másodikat, és az utolsó előttit, akkor az 2 + 99 = 101, vagyis ugyanannyi.
• Ha a harmadikat, meg hátulról a harmadikat, akkor az 3 + 98 = 101.
• …

Világos, hogy ha így halad „előről egyenként” illetve „hátulról egyenként”, akkor minden ilyen páros összeg 101 lesz. Már csak azt kell kitalálni, hány ilyen 101-el egyenlő összeg-pár van 1 és 100 között. Könnyű látni, hogy pont 50, fele annyi, ahány számot adunk össze (100). Látható is, hogy az összeg-párok az 50 + 51 = 101 összegnél érnek össze.

1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100

Így a feladat kérdésére a válasz: 50·101 = 5050. A döbbent és büszke tanító reakciója erre az volt "Én már nem tudok neked mit tanítani." (Ilyenek ezek a tanbák. :)

1. feladat: a történet ötletét a következő összegek kiszámításához használd fel (megoldások a bejegyzés végén):

1 + 2 + 3 + … + 40

1 + 2 + 3 + … + 67

Az eddigiekből megfogalmazható az első n darab természetes szám összege (bármilyen pozitív egész legyen is az n). Ugyanazt a gondolatot követve, mint ami a Gauss-féle megoldásban szerepel azt mondhatjuk, hogy

• az első és az utolsó szám összege 1 + n.
• A második és az utolsó előtti szám összege 2 + (n – 1) = n + 1.
• A harmadik és hátulról a harmadik szám összege 3 + (n – 2) = n + 1.
• …

Összesen hány ilyen n + 1 nagyságú összeg-párt kell vennünk? Hát, n/2 darabot, a képletünk tehát az első n természetes szám összege

2. feladat: csavarjunk egyet az eddigieken! A Gauss-ötlet használható a következő összegek kiszámításánál is (megoldások a bejegyzés végén).

50 + 51 + 52 + … + 100 = ?

20 + 21 + 22 + … + 67 = ?

Ha maga az első n természetes szám összegére adott képlet nem is használható ezek kiszámításában, az ötlet ugyanúgy működik: első tag plusz utolsó tag, s az ilyen összegpárokból mindig fele annyi, ahány összeg-pár képezhető.

A módszer azért működik, mert hátulról „egyenként haladva visszafelé”, meg előről „egyenként haladva előrefelé” mindig eggyel csökken illetve eggyel nő az összeg.

3. feladat: lépjünk még egyet! A következő összegek kiszámításában is ugyanez az ötlet lesz a segítségünkre (megoldások a bejegyzés végén):

5 + 10 + 15 + 20 + … + 85 + 90 + 95 + 100 = ?

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + … + 51 + 54 + 57 + 60 = ?

20 + 24 + 28 + 32 + … + 52 + 56 + 60 = ?

Ha jobban megnézzük, az utolsó feladatban odáig jutottunk, hogy tetszőleges számtani sorozat első n tagját össze tudjuk adni ezzel az ötlettel. (Ha esetleg nem sikerült megbírkózni vele, akkor most megfogalmazzuk a receptet és azzal már vissza lehet térni rá.) Gondoljuk ezt át! Vegyünk egy tetszőleges számtani sorozatot! Legyen ez mondjuk a következő:

6, 13, 20, 27, 34, …, 62, 69, 76, …

Adjuk össze ennek a sorozatnak a tagjait 76-ig! A sorozat első eleme a 6 (azaz a₁ = 6), a 76 a sorozat 11-edik eleme (a₁₁ = 76), a sorozat differenciája pedig 7 (d = 7). Az első és a 11-edik elem összege 6 + 76 = 82. A második és a tízedik elem összege 13 + 69 = 82, a harmadik és a kilencedik elem összege 20 + 62 = 82, és így tovább. Nem véletlen, hogy ez teljesül, hiszen az összeg-párok egyik tagja mindig a differenciával nő a másik pedig a differenciával csökken. A már megismert jelölésrendszerrel jelölve:

a₁ + a₁₁ = a₁ + (a₁ + 10d) = 2a₁ + 10d = 12 + 70 = 82

a₂ + a₁₀ = (a₁ + d) + (a₁ + 9d) = 2a₁ + 10d

a₃ + a₉ = (a₁ + 2d) + (a₁ + 8d) = 2a₁ + 10d

a₄ + a₈ = (a₁ + 3d) + (a₁ + 7d) = 2a₁ + 10d

…

Így a sorozat első 11 elemének az összege: (82 · 11) / 2 = 451.

Ha most az összegre adható általános képletet akarjuk kitalálni, akkor két úton is elindulhatunk.

1. út. A sorozat első n elemének összege az első és az utolsó elem összegéből álló összeg-pár összesen (n / 2)-ször. Azaz

Itt látható, hogy egy sorozat első n elemének összegét a matematikában S_n-nel szoktuk jelölni, S₁₂ tehát egy sorozat első 12 elemének összegét jelöli (S₁₂ = a₁ + a₂ + ... + a₁₂).

2. út. Kiindulhatunk abból az összefüggésből is, amit az előző bejegyzésben kaptunk a számtani sorozat n-edik tagjára. (felhasználjuk az előző bejegyzésben levezetett képletet a számtani sorozat n-edik tagjára)

A d itt (1 + 2 + ... +(n-1))-gyel van megszorozva, ami az első (n-1) természetes szám összege, amit a bejegyzés elején adott képlettel tudunk számítani. Így végül a következőt kapjuk:

4. feladat: A két képlet nem azonos. Egyszerű átalakításokkal azonban az egyik a másikká alakítható. Keresd meg ezeket az átalakításokat. 

5. feladat: használd a képleteket (mindegy melyiket használod) a következő összegek megállapítására (megoldások a bejegyzés végén).

Mi a 3, 5, 7, 9, ... számtani sorozat első 130 elemének összege?

Mi a 8, 2, -4, -10, ... számtani sorozat első 36 elemének összege?

a₁ = 11, d = -1/2, S₂₄ = ?

a₁ = 300, d = 1/5, S₅₆ = ?

a₁ = 1, d = 17, S₄₀₀ = ?

a₈₁ = 213, d = 3, S₁₀₀ = ? (Tipp: itt nincs megadva az a₁ elem, de a d igen, és ennek ismeretében már tudjuk számítani az a₈₁-ből.)

Mi az első 30 darab 8-cal osztható természetes szám összege?  (Tipp: a feladat megoldása azon múlik, hogy meg tudod-e találni, hogy milyen számtani sorozatról van szó, azaz mi itt az a₁ és mi a d)

Mennyi a 6-tal osztható kétjegyű természetes számok összege? (Természetesen valójában ez a feladat is egy számtani sorozat összegére kérdez rá. Mondjuk itt az első elem kitalálásán túl az is kérdés, hogy hanyadik elem az utolsó elem.)

Mennyi a 3-al osztva 1 maradékot adó, legfeljebb kétjegyű természetes számok összege? (Fifikás feladat, megint azon múlik, hogy sikerül-e "visszakódolni", hogy milyen számtani sorozatra is kérdez rá.)

Megoldások:

1. feladat:

(1 + 40) · (40 / 2) = 41 · 20 = 820,

(1 + 67) · (67 / 2) = (68 · 67) / 2 = 2278.

2. feladat:

[(50 + 100) · 51] / 2 = 3825 (összesen 51 szám van 50 és 100 között az 50-et is beleszámolva! 1 és 100 között 100 szám van és ebből elhagyjuk az első 49-et. )

[(20 + 67) · 48] / 2 = 2088

3. feladat:

(105 · 20) / 2 = 1050

(63 · 20) / 2 = 630

(80 · 11) / 2 = 440

5. feladat:

130 · 3 + 2(130 · 129)/2 = 390 + (130 · 129) = 17160

8 ·36 + (-6) ·(36 · 35)/2 = 288 + (-3780) = -3492

24 · 11 + (-1/2)(24 · 23)/2 = 264 + (-138) = 126

300 · 56 + (1/5) · (56 · 55)/2 = 16800 + 308 = 17108

1 · 400 + 17 · (400 · 399)/2 = 400 + 1356600 = 1357000

a₁ = a₈₁ - 80d = 213 - (80 · 3) = 213 - 240 = -27. Így S₁₀₀ = -27 · 100 + 3 ·(100 · 99)/2 = -2700 + 7425 = 4725

a₁ = 8, d = 8, S₃₀ = 30 · 8 + 8 · (30 · 29)/2 = 240 + 3480 = 3720

a₁ = 12, d = 6, az utolsó elem 96 (a következő 6-tal osztható szám már háromjegyű). Hanyadik hattal osztható szám ez? Jobb híjján számológépnyomogatással is kitalálható. De pl. ebből is: 96/6 = 16, tehát ez a 16-ik hattal osztható természetes szám. Azaz a feladat S₁₆-ra kérdez rá, ami tehát 12 · 16 + 6(16 · 5)/2 = 192 + 240 = 432.

A legfeljebb kétjegyű természetes számok közül az első, ami hárommal osztva 1 maradékot ad az 1, tehát a₁ = 1. A következő ilyen természetes szám 3-mal nagyobb (4), az azutáni, megint 3-mal nagyobb (7), az azutáni megint (10) és így tovább.  Ebből adódik, hogy d = 3. A legutolsó olyan szám, ami legfeljebb kétjegyű és 3-mal osztva 1 maradékot ad a 97 (számológéppel kikeresgélhető). Hányszor kellett az első elemhez, az 1-hez 3-at adni, hogy 97 legyen? Összesen (97 - 1)/3 = 32-szer. Így tehát a 97 a sorozat 33-adik eleme, vagyis a feladat S₃₃-ra kérdez rá, ami 1 · 33 + 3(33 · 32)/2 = 33 + 1548 = 1617.